Panduan Materi SPMB Politeknik Statistika STIS

⚡ A. Sifat Umum & Persamaan Eksponen

Eksponen (pemangkatan) merupakan operasi perkalian berulang. Sifat-sifat dasar eksponen wajib dikuasai untuk menyelesaikan soal-soal aljabar tingkat tinggi SPMB STIS.

1. Sifat-Sifat Umum Eksponen

• $a^p \times a^q = a^{p+q}$
• $\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$
• $a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$
• $\frac{1}{a^p} = a^{-p} \quad (a \ne 0)$
• $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$
• $a^p \times b^p = (ab)^p$
• $\frac{a^p}{b^p} = \left(\frac{a}{b}\right)^p$
• $a^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{a}$
• $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$
• $\sqrt[p]{\sqrt[q]{a}} = \sqrt[pq]{a}$

2. Bentuk Persamaan Eksponen

• Bentuk Dasar 1: $a^{f(x)} = 1 \implies f(x) = 0$
• Bentuk Dasar 2: $a^{f(x)} = b^{f(x)} \implies f(x) = 0$
• Bentuk Dasar 3: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)$
• Bentuk $[h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)}$:
  Possibilitas penyelesaian:
  1) $f(x) = g(x)$
  2) $h(x) = 1$
  3) $h(x) = 0$, dengan syarat $f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$
  4) $h(x) = -1$, dengan syarat $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya genap atau keduanya ganjil.
• Bentuk $[g(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{f(x)}$:
  1) $g(x) = h(x)$
  2) $f(x) = 0$, dengan syarat $g(x) \ne 0$ dan $h(x) \ne 0$
• Bentuk $[g(x)]^{f(x)} = 1$:
  1) $g(x) = 1$
  2) $f(x) = 0$, dengan syarat $g(x) \ne 0$
  3) $g(x) = -1$, dengan syarat $f(x)$ bernilai genap.

3. Pertidaksamaan & Fungsi Eksponen

Untuk pertidaksamaan $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$:

• Jika $a > 1 \implies f(x) \ge g(x)$ (Tanda pertidaksamaan TETAP)
• Jika $0 < a < 1 \implies f(x) \le g(x)$ (Tanda pertidaksamaan DIBALIK)

Sifat Grafik Fungsi Eksponen $y = f(x) = a^x$ ($a > 0, a \ne 1$): Selalu di atas sumbu-X (definit positif), memotong sumbu-Y di $(0,1)$, memiliki asimtot datar $y = 0$, dan fungsi inversnya adalah logaritma $f^{-1}(x) = ^a\log x$.

🌿 B. Bentuk Akar & Rumus Khusus USM STIS

Penyederhanaan pecahan dan bentuk akar tak hingga sering muncul pada USM Politeknik Statistika STIS.

🪵 Sifat-Sifat Logaritma Lengkap & Rapi

Logaritma merupakan invers dari eksponen. Penulisan dan formula dasar logaritma dirangkum secara rapi di bawah ini:

1. Persamaan Logaritma

• $^a\log f(x) = ^a\log p \implies f(x) = p$ (Syarat: $f(x) > 0$)
• $^a\log f(x) = ^a\log g(x) \implies f(x) = g(x)$ (Syarat: $f(x) > 0, g(x) > 0$)
• $^a\log f(x) = c \implies f(x) = a^c$
• $^{g(x)}\log f(x) = c \implies f(x) = [g(x)]^c$
• $^a\log f(x) = ^b\log f(x) \implies f(x) = 1$ (dengan $a \ne b$)

2. Pertidaksamaan Logaritma

Untuk pertidaksamaan $^a\log f(x) \ge ^a\log g(x)$:

• Jika $a > 1 \implies f(x) \ge g(x)$ (Tanda TETAP)
• Jika $0 < a < 1 \implies f(x) \le g(x)$ (Tanda DIBALIK)
• Syarat Numerus Wajib: $f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$. Penyelesaian akhir diperoleh dari irisan hasil operasi dan syarat numerusnya!

📦 Kedudukan, Proyeksi, Jarak & Sudut Dimensi Tiga

1. Kedudukan Garis Terhadap Bidang

• Garis pada Bidang: Garis $\ell$ terletak pada bidang $v$ jika memiliki lebih dari satu titik persekutuan dengan $v$.
• Garis Sejajar Bidang: Garis $\ell$ sejajar bidang $v$ jika minimal ada satu garis pada bidang $v$ yang sejajar dengan $\ell$.
• Garis Tegak Lurus Bidang: Garis $\ell$ tegak lurus bidang $v$ jika minimal ada dua garis berpotongan pada bidang $v$ yang tegak lurus garis $\ell$.

2. Proyeksi & Jarak

• Proyeksi Titik $P$ ke Bidang $v$: Tarik garis dari $P$ yang tegak lurus bidang $v$.
• Jarak Titik ke Garis: Panjang garis tegak lurus dari titik ke garis tersebut.
• Jarak Dua Garis Bersilangan (garis $g$ dan $h$):
  1) Buat bidang $v$ melalui garis $g$ yang sejajar garis $h$.
  2) Proyeksikan garis $h$ pada bidang $v$ (menghasilkan garis $h'$).
  3) Jarak garis $g$ ke $h$ sama dengan jarak garis $h$ ke $h'$.

3. Sudut & Melukis Bidang Irisan

Langkah melukis irisan penampang bidang sisi benda:

• Perhatikan 2 titik yang terletak pada satu bidang sisi benda, lalu hubungkan menjadi irisan.
• Jika tidak terdapat 2 titik sebidang, perpanjang irisan sampai memotong tepi-tepi dasar bidang sisi untuk memperoleh titik baru.

♾️ Limit Fungsi, L'Hospital & Rumus Praktis

1. Teorema & Metode Penyelesaian

Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\left(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty\right)$, gunakan:

• Faktorisasi atau Perkalian Sekawan (jika ada bentuk akar $\sqrt{x}$).
• Dalil L'Hospital: $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

2. Limit Tak Hingga & Selisih Akar Kuadrat

3. Limit Trigonometri

📐 Turunan (Diferensial) & Aplikasi Integral

1. Rumus Turunan Fungsi Aljabar & Trigonometri

• $y = a x^n \implies y' = a \cdot n x^{n-1}$
• $y = u \cdot v \implies y' = u'v + uv'$
• $y = \frac{u}{v} \implies y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• $\frac{d}{dx}(\sin U) = U' \cos U, \quad \frac{d}{dx}(\cos U) = -U' \sin U, \quad \frac{d}{dx}(\tan U) = U' \sec^2 U$

2. Aplikasi Turunan: Stasioner & Interval

• Fungsi Naik: $f'(x) > 0$ | Fungsi Turun: $f'(x) < 0$
• Keadaan Stasioner: $f'(x) = 0$ (Maksimum jika $f''(x) < 0$, Minimum jika $f''(x) > 0$).

3. Rumus Integral & Aplikasi Luas/Volume

• $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \quad (n \ne -1)$
• $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C, \quad \int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$
• Integral Parsial: $\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$
• Luas Kurva: $L = \int_a^b (y_{\text{atas}} - y_{\text{bawah}}) dx$
• Luas Khusus Parabola: $L = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$ dengan $D = b^2 - 4ac$.
• Volume Benda Putar (Diputar terhadap Sumbu-Y): $V = \pi \int_c^d (x_1^2 - x_2^2) dy$

📊 Ukuran Pemusatan, Penyebaran & Data Kelompok

1. Ukuran Pemusatan & Penyebaran (Data Tunggal)

• Mean (Rataan): $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
• Median ($Me$) & Kuartil ($Q_1, Q_2, Q_3$): Pembagi 4 bagian data berurutan.
• Jangkauan ($J$): $J = X_{\text{maks}} - X_{\text{min}}$
• Simpangan Rata-Rata ($SR$): $SR = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$
• Varians / Ragam ($S^2$): $S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$
• Simpangan Baku ($S$): $S = \sqrt{S^2}$

2. Data Kelompok & Perubahan Data

🎲 Permutasi, Kombinasi & Peluang Kejadian

• Permutasi (Urutan Diperhatikan): $_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
• Kombinasi (Urutan Tidak Diperhatikan): $_n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
• Peluang Komplemen: $P(A') = 1 - P(A)$
• Peluang Kejadian Saling Bebas: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

🧠 Simbol, Ekuivalensi & Silogisme

• Konvers: $q \implies p$ | Invers: $\sim p \implies \sim q$ | Kontraposisi: $\sim q \implies \sim p$
• Ekuivalensi Implikasi: $p \implies q \equiv \sim q \implies \sim p \equiv \sim p \lor q$
• Negasi Implikasi: $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$
• Modus Ponens: $(p \implies q)$ dan $p \implies q$
• Modus Tollens: $(p \implies q)$ dan $\sim q \implies \sim p$
• Silogisme: $(p \implies q)$ dan $(q \implies r) \implies (p \implies r)$

🔢 Matriks & Matriks Singular

Determinan matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $|A| = ad - bc$. Matriks dinamakan singular apabila $|A| = 0$.